পৈসুঁবিন্যাস (Poisson Distribution)

পৈসুঁবিন্যাস হলো পরিসংখ্যানের একটি বিশেষ সম্ভাব্যতা বিন্যাস, যা নির্দিষ্ট সময় বা স্থানের মধ্যে বিরল ঘটনাগুলির সংখ্যা মডেল করতে ব্যবহৃত হয়। এটি সাধারণত সেই ঘটনাগুলির জন্য প্রযোজ্য, যেখানে ঘটনার মধ্যবর্তী সময় বা দূরত্ব প্রায় নির্দিষ্ট থাকে।

পৈসুঁবিন্যাসের বৈশিষ্ট্য

১. ঘটনার নির্দিষ্ট হার: একক সময় বা স্থানে একটি ঘটনা সংঘটিত হওয়ার গড় হার (\( \lambda \)) ধ্রুবক থাকে।
২. স্বাধীনতা: এক ঘটনার সাথে অন্য ঘটনার কোনো সম্পর্ক নেই।
৩. বিরল ঘটনা: ঘটনাগুলি বিরল এবং খুব ঘন ঘন ঘটে না।
৪. সময় বা স্থান নির্ভরতা: নির্দিষ্ট সময় বা স্থানের উপর ভিত্তি করে ঘটনার সংখ্যা গণনা করা হয়।

পৈসুঁবিন্যাসের সূত্র

\[
P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}
\]

যেখানে:

• \( P(X = k) \): \( k \) সংখ্যক ঘটনা সংঘটিত হওয়ার সম্ভাবনা।
• \( \lambda \): গড় ঘটনা সংঘটিত হওয়ার হার।
• \( k \): সংঘটিত ঘটনার সংখ্যা (যা একটি পূর্ণসংখ্যা)।
• \( e \): একটি ধ্রুবক যার মান প্রায় ২.৭১৮।

উদাহরণ

প্রেক্ষাপট

একটি কফি শপে প্রতি ঘন্টায় গড়ে ৫ জন গ্রাহক আসে (\( \lambda = 5 \))। \( k = 3 \) জন গ্রাহক আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান

\[
P(X = 3) = \frac{e^{-5} \cdot 5^3}{3!}
\]

প্রথমে \( e^{-5} \) গণনা করি:
\[
e^{-5} \approx 0.0067
\]

তারপর:
\[
P(X = 3) = \frac{0.0067 \cdot 125}{6} \approx 0.139
\]

অর্থাৎ, প্রতি ঘন্টায় ৩ জন গ্রাহক আসার সম্ভাবনা ১৩.৯%।

পৈসুঁবিন্যাসের ব্যবহার

১. টেলিফোন সেন্টার:

• প্রতি মিনিটে গড় কল আসার সংখ্যা বিশ্লেষণ করতে।

২. হাসপাতাল:

• প্রতি ঘন্টায় জরুরি রোগীর আগমন নির্ধারণে।

৩. মান নিয়ন্ত্রণ:

• একটি উৎপাদন লাইনে নির্দিষ্ট সংখ্যক ত্রুটিপূর্ণ পণ্যের উপস্থিতি বিশ্লেষণ।

৪. যানজট বিশ্লেষণ:

• একটি রাস্তায় প্রতি মিনিটে গড় যানবাহন আগমনের সংখ্যা নির্ধারণ।

৫. জ্যোতির্বিদ্যা:

• নির্দিষ্ট সময়ে একটি টেলিস্কোপে বিরল মহাজাগতিক ঘটনা দেখার সম্ভাবনা নির্ধারণ।

পৈসুঁবিন্যাসের গড় ও ভেদাঙ্ক

গড় (Mean)

পৈসুঁবিন্যাসের গড় হলো \( \lambda \), অর্থাৎ গড় ঘটনা সংঘটিত হওয়ার হার।

ভেদাঙ্ক (Variance)

পৈসুঁবিন্যাসের ভেদাঙ্কও \( \lambda \), অর্থাৎ:

\[
E(X) = Var(X) = \lambda
\]

পৈসুঁবিন্যাস বনাম দ্বিপদী বিন্যাসের তুলনা

সারসংক্ষেপ

পৈসুঁবিন্যাস বিরল ঘটনার সম্ভাবনা বিশ্লেষণে একটি শক্তিশালী টুল। এর গাণিতিক মডেলটি বাস্তব জীবনের বিভিন্ন ক্ষেত্রে, যেমন টেলিকমিউনিকেশন, স্বাস্থ্যসেবা, এবং যানজট বিশ্লেষণে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। এর সরলতা এবং কার্যকারিতা এটি একটি জনপ্রিয় পরিসংখ্যানিক মডেল হিসেবে গড়ে তুলেছে।